Courbes Paramétrées du Plan Euclidien

Ce fascicule est consacré à l'étude des courbes paramétrées du plan euclidien. Après des rappels généraux sur les courbes planes, nous introduisons les notions de longueur et de courbure. Nous avons également inclus l'étude des courbes définies en coordonnées polaires. Chaque chapitre contient un résumé de cours conséquent insistant sur les résultats fondamentaux (et correspondant aux programmes de licence de mathématiques, des classes préparatoires aux grandes écoles, du CAPES et de l'agrégation), suivi d'une série d'exercices très soigneusement corrigés. Les questions abordées sont typiques de celles posées aux examens et aux concours. Table des matières Avant-Propos 1 Arcs paramétrés 1.1 Rappels de cours 1.1.1 Le plan affine - Notations 1.1.2 Le produit scalaire euclidien 1.1.3 Applications à valeurs dans le plan euclidien 1.1.4 Courbes paramétrées planes 1.1.5 Orientation des arcs paramétrés 1.1.6 Points réguliers, biréguliers, singuliers, tangente 1.1.7 Aspect local 1.2 Exercices 2 Longueur 2.1 Rappels de cours 2.1.1 Arc rectifiable, longueur 2.1.2 Abscisse curviligne 2.2 Exercices 3 Courbure 3.1 Rappels de cours 3.1.1 Courbure 3.1.2 Repère de FRENET 3.1.3 Centre de courbure, cercle osculateur, arc développé 3.1.4 Courbure algébrique 3.1.5 Repère de FRENET vs repère de FRENET orienté 3.1.6 Variation angulaire 3.2 Exercices 4 Courbes en polaires 4.1 Rappels de cours 4.1.1 Coordonnées polaires dans le plan 4.1.2 Arc défini par une équation polaire 4.1.3 Symétries, périodicité 4.1.4 Aspect local 4.1.5 Étude du pôle 4.1.6 Branches infinies 4.1.7 Propriétés métriques 4.1.8 Détermination des points multiples d'une courbe 4.1.9 Détermination des points d'intersection de deux courbes 4.1.10 Équation polaire de courbes classiques 4.2 Exercices