33 leçons d’algèbre pour l’agrégation interne de mathématiques. Oral 1

Cet ouvrage est destiné aux candidats à l’agrégation interne de mathématiques, en vue de la préparation de la première épreuve orale. Il rassemble des propositions de plans pour l’intégralité des 33 sujets d’algèbre au programme de la session 2025, accompagnés de démonstrations complètes et de développements détaillés. Afin d’aiguiller l’agrégatif dans sa préparation, chaque plan est commenté : points essentiels, résultats secondaires, choix de structure du plan, variantes envisageables. L’objectif est de proposer une ressource de travail claire et complète, enrichie de conseils pratiques pour la préparation du concours, destinée à nourrir la réflexion personnelle de chaque candidat. Sommaire Avant-propos 101 - Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 102 - Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications 103 - Anneaux Z/nZ 104 - Structures quotients, exemples et applications 105 - Nombres premiers. Propriétés et applications 106 - Idéaux d’un anneau commutatif. Exemples 107 - PGCD dans Z et K[X], théorème de Bézout. Algorithme d’Euclide. Applications 108 - Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes 109 - Racines d’un polynôme à une indéterminée. Relations coefficientsracines. Applications 110 - Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d’une famille de vecteurs 111 - Formes linéaires, hyperplans, dualité en dimension finie. Exemples 112 - Déterminants. Applications 113 - Systèmes linéaires. Applications 114 - Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Applications. Aspects algorithmiques 115 - Diverses factorisations de matrices 116 - Notion de rang en algèbre linéaire et bilinéaire. Applications 117 - Valeurs propres et vecteurs propres. Recherche et utilisation 118 - Réduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications 119 - Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Applications 120 - Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien. Applications 121 - Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications 122 - Endomorphismes trigonalisables et nilpotents. Applications 123 - Groupe linéaire GL(E) d’un espace vectoriel de dimension finie E. Sous-groupes. Applications 124 - Barycentres. Applications 125 - Applications affines en dimension finie. Propriétés et exemples 126 - Espaces préhilbertiens réels. Orthogonalité, projection orthogonale. Applications 127 - Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie 128 - Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 129 - Isométries du plan affine euclidien, décomposition canonique. Applications 130 - Utilisation des nombres complexes en géométrie 131 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications 132 - Utilisation de groupes en géométrie 133 - Grou