33 leçons d’analyse pour l’agrégation interne de mathématiques. Oral 1

Cet ouvrage est destiné aux candidats à l’agrégation interne de mathématiques, en vue de la préparation de la première épreuve orale. Il rassemble des propositions de plans pour l’intégralité des 33 sujets d’analyse au programme de la session 2025, accompagnés de démonstrations complètes et de développements détaillés. Afin d’aiguiller l’agrégatif dans sa préparation, chaque plan est commenté : points essentiels, résultats secondaires, choix de structure du plan, variantes envisageables. L’objectif est de proposer une ressource de travail claire et complète, enrichie de conseils pratiques pour la préparation du concours, destinée à nourrir la réflexion personnelle de chaque candidat. Sommaire Avant-propos 201 - Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications 202 - Séries à termes réels positifs. Applications 203 - Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semiconvergence. 204 - Vitesse de convergence. Méthodes d’accélération de convergence. 205 - Écriture décimale d’un nombre réel. Cas des nombres rationnels. 206 - Théorème des valeurs intermédiaires. Applications 207 - Théorème des accroissements finis. Applications 208 - Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications 209 - Différentes formules de Taylor pour une fonction d’une variable réelle. Applications 210 - Fonction réciproque d’une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples 211 - Séries de fonctions. Propriétés de la somme. Exemples 212 - Séries entières d’une variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme 213 - Série de Fourier d’une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples 214 - Méthodes de calcul approché d’une intégrale. Majoration ou estimation de l’erreur 215 - Intégrale impropre d’une fonction continue sur un intervalle de R. Exemples 216 - Intégrale d’une fonction dépendant d’un paramètre. Propriétés, exemples et applications 217 - Équations différentielles linéaires d’ordre deux x''+ ax' + bx = c. 218 - Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants. Exemples 219 - Diverses méthodes de résolution approchée d’une équation numérique ou d’une équation différentielle 220 - Étude des courbes planes 221 - Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications 222 - Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C1. Exemples 223 - Extremums d’une fonction de plusieurs variables réelles 224 - Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes. Applications 225 - Applications linéaires continues, normes associées. Exemples 226 - Suites dans un espace vectoriel normé 227 - Théorèmes de points fixes 228 - Espérance, variance. Applications 229 - Variables aléatoires possédant une densité. Exemples 230 - Conditionnement et indépendance en probabilités. Ex