L’art de la convergence : Séries Entières

Ce troisième volume de la série «L’Art de la convergence», s’inscrivant dans la continuité des ouvrages dédiés aux suites et séries numériques puis aux suites et séries de fonctions, propose une étude exhaustive des séries entières organisée en quatre chapitres principaux. Le premier chapitre couvre les généralités: définitions fondamentales des séries entières et du rayon de convergence, opérations algébriques incluant somme et produit de Cauchy, méthodes pratiques de détermination du rayon via les critères de d’Alembert et Cauchy-Hadamard, différents modes de convergence, régularité de la fonction somme avec continuité et dérivation terme à terme, et les fonctions développables en série entière incluant le théorème de Bernstein et les développements classiques, avec extensions aux fonctions complexes et exponentielles de matrices. Le deuxième chapitre approfondit l’étude qualitative : propriétés analytiques comme l’holomorphie et l’analyticité, étude des zéros des fonctions analytiques, comportement sur le cercle de convergence avec les théorèmes d’Abel et résultats taubériens, et diverses applications aux séries numériques, équations différentielles, calcul intégral, dénombrement et probabilités. À la fin des deux premiers chapitres, 80 exercices intégralement corrigés permettent de consolider l’ensemble des notions abordées. Le troisième chapitre présente des compléments sur les séries entières multiples, les domaines de Reinhardt, la fonction de Mattag-Leffler et la fonction polylogarithmique. Le dernier chapitre propose une auto-évaluation sous la forme de six problèmes résolus, offrant ainsi une synthèse pratique des compétences acquises. Ce volume s’intègre dans un projet pédagogique plus vaste de quatre tomes, formant une tétralogie complète sur l’analyse des suites et séries, alliant rigueur théorique et applications pratiques dans une progression structurée. Sommaire Avant-propos 1 Généralités sur les séries entières 2 Étude qualitative d’une série entière 3 Compléments 4 Auto-évaluation Bibliographie Index