Carrefours entre analyse, algèbre et géométrie

Ce livre explore des questions auxquelles quatre années d'études universitaires apportent rarement des réponses. • Pourquoi est-ce le même nombre ? qui figure dans les formules du périmètre et de la surface du cercle ? • Quels sont les rapports entre aire, intégrale et primitive ? • Qu'ont à voir avec la mesure des grandeurs géométriques ou physiques les intégrales de Riemann, de Lebesgue,… ? • L'aire, le volume, … est-ce si naturel ? Une coupe d'un volume compact qui n'aurait pas d'aire, est-ce possible ? • Quel rôle caché joue la convexité dans certaines questions des programmes du secondaire ? • Quel est le rôle unificateur de la notion d'équation, si peu mis en valeur au cours des études ? • 0,99999… est-il égal à 1 ? Que sont les nombres irrationnels, transcendants, constructibles ? • Le polymorphisme des complexes : nombres, vecteurs, transformations…, comment s'en servir ? Ces questions renvoient souvent à des thèmes qui sont au carrefour de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie. Elles renvoient aussi à des problématiques de modélisation. C'est pourquoi l'ouvrage prend pour fil directeur, pour essayer de répondre à ces questions, des questionnements historiques, mathématiques, physiques, épistémologiques, pédagogiques. Ce livre a été d'abord conçu pour les étudiants préparant les concours du CAPES ou de l'Agrégation (ce qui explique le grand nombre d'exercices et de problèmes qu'il contient). Il s'adresse ensuite aux enseignants en formation en deuxième année d'IUFM, ainsi qu'aux enseignants de mathématiques des lycées et collèges, et cela se traduit par le rôle réservé à des questions historiques et pédagogiques. Sommaire Ch. 1 : La notion d'équation Ch. 2 : Compléments sur les nombres complexes Ch. 3 : Le nombre ? entre algèbre, géométrie et analyse Ch. 4 : La convexité Ch. 5 : Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie à l'analyse, inspiré de l'histoire Ch. 6 : Le problème des primitives des fonctions continues : une solution directe Ch. 7 : Les grandeurs géométriques, physiques... et leur formalisation et calcul par les procédures "intégrale" et "dérivée-primitive Ch. 8 : Valeur moyenne d'une fonction, valeurs moyennes d'une grandeur Ch. 9 : Aire, volume, mesure de Lebesgue des compacts Annexe 1 : Les entiers et la récurrence, ensembles finis et infinis, problèmes de dénombrement Annexe 2 : Quelques exemples d'intervention du numérique en géométrie, et autres remarques sur la géométrie du collège Annexe 3 : Le point sur les nombres réels