Notions fondamentales de Mathématiques modernes - Tome 1

2 volumes Les présents ouvrages sont destinés principalement aux personnes qui, pour des motifs divers, désirent connaître de façon précise ce que le grand Public (et surtout les parents d'élèves) appelle "mathématiques modernes". Quant au contenu de l'ouvrage, les auteurs ont choisi les notions fondamentales des mathématiques enseignées aujourd'hui et utilisées dans les applications ; ce sont les notions devenues classiques d'algèbre générale, d'algèbre linéaire, d'analyse et de théorie des probabilités. Elles peuvent constituer la base de départ d'études ultérieures ; en elles-mêmes, elles donnent un aperçu de portée générale, mais précis, qui permet au lecteur de se faire une idée exacte de la nature des mathématiques enseignées de façon courante. A côté de l'étude des structures algébriques simples, des sujets plus concrets sont traités : l'arithmétique dès le début, comme préparation à l'algèbre ; la résolution des systèmes linéaires, comme application ; les systèmes de nombres complexes. Partout où c'était possible, nous avons donné des exemples, même si certains comportaient une anticipation qui les plaçaient en dehors du développement logique. Malgré le caractère particulier de ce livre, il nous a paru indispensable de proposer quelques exercices sur chaque chapitre. Tome 1 Chapitre I – Ensembles Généralités – Relation d'inclusion. Ensemble des part – Opérations dans P(X) – Quantificateurs – Ensemble produit – Relations binaires – Ensembles ordonnés – Axiome du choix ou "de choix" – Image directe et image réciproque – Surjections, injections, bijections – Composition des applications – Familles – Relations d'équivalence – Construction de Z à partir de N – Cardinaux – Ensembles dénombrables – Exercices sur le chapitre I. Chapitre II – Arithmétique Généralités – Principe de récurrence – La division euclidienne –Congruences – Nombres premiers – Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple – Critères de primalité – Théorème d'Euler – Racines primitives – Exercices sur le chapitre II. Chapitre III – Groupes Généralités. Loi interne – Définition, exemples de groupes – Autres définitions – Sous-groupes et classes – Ordre et indices – Sous-groupes normaux –Détermination des groupes finis d'ordre _ –Normalisateurs et classes de conjugaison – Groupes d'ordre pn (p étant premier)– Groupes de transformations – Morphismes de groupe– Suites normales et suites de composition – Exercices sur le chapitre III. Chapitre IV – Anneaux Définition et généralités – Exemples – Idéaux –Morphismes d'anneaux – Divisibilité et anneaux factoriels – Anneaux euclidiens – Entiers de Gauss – Exercices sur le chapitre IV. Chapitre V – Corps Généralités – Corps des fractions d'un anneau commutatif, unifère et intègre – Construction des nombres réels – Topologie de R –Exercices sur le chapitre V. Chapitre VI – Espaces vectoriels Définition et exemples – Sous-espaces vectoriels –Parties libre ; bases – Applications linéaires – Spectre et valeurs propres d'un opérateur linéaire – Formes linéaires et dualité – Exercices sur le chapitre VI. Chapitre VII – Matrices et Déterminants Matrices – Algèbre des matrices carrées d'ordre – Changements de base – Déterminants – Systèmes d'équations linéaires – Réduction des matrices – Exercices sur le chapitre VII. Chapitre VIII – Nombres complexes et Quaternions Notion d'algèbre – Extension de la notion de nombre – Dimension 2 – Dimension 3 – Dimension 4 – Conclusion – Exercices sur le chapitre VIII. Chapitre IX – Algèbres de Boole Anneaux de Boole – Algèbres de Boole – Treillis de Boole – Algèbre des parties d'un ensemble – Idéaux et filtres – Atomes –Algèbres de Boole finies – Équations booléennes – Morphismes –Exercices sur le chapitre IX. Annexe I – Notions de vocabulaire des catégorie Annexe II – Table des nombres premiers inférieurs à 3.000 Annexe III – Tout espace vectoriel possède une base Annexe IV – Théorème de Frobenius Bibliographie – Index